配偶与别人私奔如果没有办理婚姻登记或者以夫妻名义共同生活的话，那么就不构成重婚罪，只能算非法同居。这个时候作为原配，可以向法院申请离婚并要求对方支付离婚损害赔偿。
　　如果他们私奔已经办理婚姻登记手续或者以夫妻名义共同生活了，那么就构成了重婚罪，需要承担相应的刑事责任。原配可以到公安局去报案，也可以向法院提起刑事自诉。
　　根据《婚姻法》第四十五条规定，对重婚的，对实施家庭暴力或虐待、遗弃家庭成员构成犯罪的，依法追究刑事责任。受害人可以依照刑事诉讼法的有关规定，向人民法院自诉；公安机关应当依法侦查，人民检察院应当依法提起公诉。